题目内容
15．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{1+x}-lnx$在x=x0处取得最大值，给出下列5个式子：①f（x0）＜x0，②f（x0）=x0，③f（x0）＞x0，④$f（{x_0}）＜\frac{1}{2}$，⑤$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$．则其中正确式子的序号为（ ）
| A． | ①和④ | B． | ②和④ | C． | ②和⑤ | D． | ③和⑤ |
分析 求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值、最值的关系确定f（x0）的值，进行判断即可．
解答 解：函数的定义域为（0，+∞），f（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）lnx，
函数的导数f′（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）′lnx-$\frac{x}{x+1}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{-lnx-x-1}{（x+1）^{2}}$，
设h（x）=-lnx-x-1，
则h′（x）=$\frac{-1-x}{x}$，则当x＞0时，h′（x）＜0，即h（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵h（1）＜-1-1=-2＜0，当x→0时，h（x）＞0，
∴在（0，1）内函数h（x）有唯一的零点x0，即h（x0）=-lnx0-x0-1=0，
即lnx0=-1-x0，
当0＜x＜x0，f′（x）＞0，当x＞x0，f′（x）＜0，即函数f（x）在x=x0处取得最大值，
即f（x0）=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•lnx0=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•（-1-x0）=x0，②正确；
∵h（$\frac{1}{2}$）=-ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}-1$=ln2-$\frac{3}{2}$＜0，
∴0＜x0＜$\frac{1}{2}$，∴$f（{x_0}）＜\frac{1}{2}$，
故选：B．
点评 本题主要考查命题的真假判断涉及函数的单调性，极值，最值与导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．
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17．
近几年骑车锻炼越来越受到人们的喜爱，男女老少踊跃参加，我校课外活动小组利用春节放假时间进行社会实践，将被调查人员分为“喜欢骑车”和“不喜欢骑车”，得到如表统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图，并n，a，p的值；
（2）从[40，50）岁年龄段的“喜欢骑车”中采用分层抽样法抽取18人参加骑车锻炼体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，50）岁的人数为X，求X的分布列和期望EX．
近几年骑车锻炼越来越受到人们的喜爱，男女老少踊跃参加，我校课外活动小组利用春节放假时间进行社会实践，将被调查人员分为“喜欢骑车”和“不喜欢骑车”，得到如表统计表和各年龄段人数频率分布直方图：| 组数 | 分组 | 喜欢骑车锻炼的人数 | 占本组的频率 |
| 第一组 | [25，30） | 120 | 0.6 |
| 第二组 | [30，35） | 195 | p |
| 第三组 | [35，40） | 100 | 0.5 |
| 第四组 | [40，45） | a | 0.4 |
| 第五组 | [45，50） | 30 | 0.3 |
| 第六组 | [50，55] | 15 | 0.3 |
（2）从[40，50）岁年龄段的“喜欢骑车”中采用分层抽样法抽取18人参加骑车锻炼体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，50）岁的人数为X，求X的分布列和期望EX．
已知CD是圆上的一条弦，延长CD与B点使得CD=BD，过D作BC的中垂线在中垂线上找到一点A使得AB⊥AC，连接AC交圆与H点连接BH，分别交AD与F点，交圆与G点，连接DG．求证：四边形ABDG有外接圆．
4．已知P是圆C：（x-2）2+（y-1）2=5上的一动点，Q是直线l：x+2y+6=0上一动点，则|PQ|的最小值是（ ）
| A． | $\sqrt{6}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | 2$\sqrt{5}$ | D． | 2$\sqrt{6}$ |