题目内容
已知F1，F2为椭圆
+
=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F2做椭圆的弦AB，若△AF1B 的周长是16，椭圆的离心率e=
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若∠F1AF2=90°，求△F1AF的面积S；
（3）已知P（2，1）是椭圆内一点，在椭圆上求一点Q，使得
PQ+2QF2最小，并求出最小值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若∠F1AF2=90°，求△F1AF的面积S；
（3）已知P（2，1）是椭圆内一点，在椭圆上求一点Q，使得
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件得
，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由∠F1AF2=90°，知S△F1AF2=b2tan90°，由此能求出结果．
（3）过P作右准线的垂线，与椭圆的交点为Q，此时PQ+2QF2有最小值．
|
（2）由∠F1AF2=90°，知S△F1AF2=b2tan90°，由此能求出结果．
（3）过P作右准线的垂线，与椭圆的交点为Q，此时PQ+2QF2有最小值．
解答：
解：（1）∵F1，F2为椭圆
+
=1（a＞b＞0）的两个焦点，
过F2做椭圆的弦AB，△AF1B 的周长是16，椭圆的离心率e=
，
∴
，解得a=4，c=2
，b=2，
∴椭圆的标准方程为
+
=1．
（2）∵∠F1AF2=90°，
∴S△F1AF2=b2tan90°=4．
（3）∵P（2，1）是椭圆内一点，
∴过P作右准线的垂线，与椭圆的交点为Q，此时PQ+2QF2有最小值．
∴Q（xQ，1）xQ＞0，代入
+
=1，得xQ=3，∴Q（3，1）．
P到右准线的距离d=
-2=
-2，
∵
=
，
∴2QF2=8-2
，
∴PQ+2QF2的最小值为：1+8-2
=9-2
．
即当Q（3，1）时，PQ+2QF2有最小值，最小值为9-2
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
过F2做椭圆的弦AB，△AF1B 的周长是16，椭圆的离心率e=
| ||
| 2 |
∴
|
| 3 |
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
（2）∵∠F1AF2=90°，
∴S△F1AF2=b2tan90°=4．
（3）∵P（2，1）是椭圆内一点，
∴过P作右准线的垂线，与椭圆的交点为Q，此时PQ+2QF2有最小值．
∴Q（xQ，1）xQ＞0，代入
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
P到右准线的距离d=
| 16 | ||
2
|
| 8 | ||
|
∵
| QF2 | ||||
|
| ||
| 2 |
∴2QF2=8-2
| 3 |
∴PQ+2QF2的最小值为：1+8-2
| 3 |
| 3 |
即当Q（3，1）时，PQ+2QF2有最小值，最小值为9-2
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查线段和最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
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不等式（x-2）（x+5）＞0的解集为（ ）
| A、{x|-5＜x＜2} |
| B、{x|x＜-2或x＞5} |
| C、{x|-2＜x＜5} |
| D、{x|x＜-5或x＞2} |
已知椭圆C1：