Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₄是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且b_n+S_n=1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和公式．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁=3，d=2，从而a_n=3+（n-1）×2=2n+1．由S_n=1-b_n，得b1=

1

2

，bn=

1

2

bn-1由此能求出b_n=(

1

2

)n．
（2）由c_n=a_n+b_n=2n+1+（

1

2

）ⁿ，利用分组求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₄是方程x²-14x+45=0的两根，
∴a₂＜a₄，解方程x²-14x+45=0，得：a₂=5，a₄=9，
∴

a1+d=5 a1+3d=9

，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
∵数列{b_n}的前n项的和为S_n，且b_n+S_n=1，
∴S_n=1-b_n，
n=1时，b₁=1-b₁，解得b1=

1

2

，
n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=b_n-1-b_n，即bn=

1

2

bn-1，
∴{b_n}是以

1

2

为公项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴b_n=(

1

2

)n．
（2）∵c_n=a_n+b_n=2n+1+（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=2（1+2+3+…+n）+n+（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）
=2×

n(n+1)

2

+n+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=n2+2n+1-

1

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．