Question

15．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足对任意 x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 由已知求得分段函数f（x）的解析式，然后由f（x+8）≥f（x）分段得到a与x的不等关系，分离参数a求得a的范围，取交集得答案．

解答 解：根据题意，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|x-{a^2}|-{a^2}，x≥0\\{a^2}-|x+{a^2}|，x＜0\end{array}\right.$，
当x≥0时，由f（x+8）≥f（x），得|x+8-a²|-a²≥|x-a²|-a²，
∴2x+8-2a²≥0，即a²≤x+4恒成立，
故-2≤a≤2；
当x≤-8时，由a²-|x+8+a²|≥a²-|x+a²|，得|x+8+a²|≤|x+a²|，
∴2x+8+2a²≤0，即a²≤-x-4恒成立，
故-2≤a≤2；
当-8＜x＜0时，由|x+8-a²|-a²≥a²-|x+a²|，得|x+8-a²|+|x+a²|≥2a²，
∴|a²-8+a²|≥2a²，解之得，$-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$，
综上，实数a的取值范围是：$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
故答案为：$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

点评 本题是新定义题，考查了函数解析式的求解及常用方法，训练了利用分离变量法求解参数的取值范围，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．