Question

9．已知数列{a_n}的通项公式是${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，（n∈N^*），记b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
（1）写出数列{b_n}的前三项；
（2）猜想数列{b_n}通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，代值计算即可，
（2）猜想，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）${b_1}=\frac{3}{4}$，${b_2}=\frac{4}{6}$，${b_3}=\frac{5}{8}$
（2）猜想：${b_n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$
①n=1时，${b_1}=\frac{1+2}{4}=\frac{3}{4}$
②假设n=k时，${b_k}=\frac{k+2}{2（k+1）}$
当n=k+1时b_k+1=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1-a_k+1）
=b_k（1-a_k+1）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$）
=$\frac{k+2}{2（k+1）}$•$\frac{{k}^{2}+4k+3}{（k+2）^{2}}$=$\frac{（k+2）（k+1）（k+3）}{2（k+1）（k+2）^{2}}$=$\frac{k+3}{2（k+2）}$
综合①②：${b_n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．