Question

4．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图上方均为等边三角形，根据图中数据：
（1）求三棱锥外接球表面积
（2）求该几何体的表面积
（3）求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为2，有一侧面是等腰三角形，垂直于底面，底面上的高为$\sqrt{3}$，求出三棱锥外接球的半径，即可求三棱锥外接球表面积
（2）何体的底面是圆柱，表面积为$2π•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=4π，求出三棱锥的侧面积，即可求该几何体的表面积
（3）圆柱体积+三棱锥的体积，即可求该几何体的体积．

解答 解：（1）三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为2，有一侧面是等腰三角形，垂直于底面，底面上的高为$\sqrt{3}$，
设三棱锥外接球的半径为R，则R²=2+（$\sqrt{3}$-R）²，∴R=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
∴三棱锥外接球表面积为4$π•（\frac{5\sqrt{3}}{6}）^{2}$=$\frac{25π}{3}$
（2）几何体的底面是圆柱，表面积为$2π•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=4π，三棱锥的侧面积为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$+2×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5-1}$=$\sqrt{6}$+2，
∴该几何体的表面积S=4π+$\sqrt{6}$+2；
（3）该几何体的体积V=$π•2•\sqrt{2}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$=2$\sqrt{2}π$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查表面积、体积的计算，考查三视图，确定几何体的形状是关键．