Question

【题目】如图，F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C：的两个焦点，M是椭圆C上的一点，当MF1⊥F1F2时，有|MF2|＝3|MF1|．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P（0，3）作直线l与轨迹C交于不同两点A，B，使△OAB的面积为（其中O为坐标原点），问同样的直线l共有几条？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线l有四条，详见解析

【解析】

（1）根据题意得到和，联立解得答案。

（2）设直线l的方程为，利用韦达定理得到，

，利用面积等于得到，计算得到答案。

（1）由题可知，c＝2即a2﹣b2＝2﹣﹣﹣﹣①

又∵|MF2|＝3|MF1|且|MF1|+|MF2|＝2a，∴．

又∵MF1⊥F1F2，∴，即a2＝2b2﹣﹣﹣﹣②

由①②可知，∴椭圆C的标准方程为．

（2）由题可设直线l的方程为：y＝kx+3（k≠0），

令y＝0，则x，即直线l与x轴的交点D坐标为（），

设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．

联立，消去x，整理可得，（2k2+1）y2﹣6y+9﹣8k2＝0，

则有

又∵S△AOB＝S△ODA+S△ODB

，

∵，即，整理可得，k4﹣5k2+4＝0，解出k＝±1或k＝±2．

∴直线l有四条．