Question

【题目】如图1，平面四边形ABCD中，，，且BC=CD.将CBD沿BD折成如图2所示的三棱锥，使二面角的大小为.

（1）证明：；

（2）求直线BC'与平面C'AD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1) 取得中点,连接,根据已知条件可以证明平面,从而可证;

(2) 取得中点,取为的中点,通过证明,,,然后以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.再用空间向量可以求得结果.

(1)证明:平面四边形中,,,所以△为正三角形,

在三棱锥中,取得中点,连接,则,

因为,所以平面,从而.

(2)设,则,

由(1)知,为二面角的平面角,所以,

在△中,利用余弦定理可求得,

所以△为等腰三角形,取得中点,则,又,

所以平面,取为的中点,则,且,

所以以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则,

,

设平面的法向量,则,即,

可取,

所以.

所以直线BC'与平面C'AD所成角的正弦值为.