Question

【题目】已知圆，直线，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.

（1）求E的方程；

（2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且，求证：直线AB恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析

【解析】

（1）由抛物线定义可知动圆的圆心轨迹为抛物线,根据焦点及准线方程可求得抛物线的标准方程.

（2）设出直线AB的方程,联立抛物线,化简后结合韦达定理,表示出,根据等量关系可求得直线方程的截距,即可求得所过定点的坐标.

（1）由题意动圆P与相切,且与定圆外切

所以动点P到的距离与到直线的距离相等

由抛物线的定义知,点P的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线

故所求P的轨迹方程E为

（2）证明：设直线,,,

将直线AB代入到中化简得,

所以,

又因为

所以

则直线AB为恒过定点