Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2na_n+1-3n²-4n，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S₃变为S₂+a₃得另一关系式，联立可求a₃，然后把递推式中n取1，再结合S₃=15联立方程组求得a₁，a₂；
（2）由（1）中求得的a₁，a₂，a₃的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．

解答： 解：（1）由S_n=2na_n+1-3n²-4n，n∈N^*，得：
S₂=4a₃-20  ①
又S₃=S₂+a₃=15  ②
联立①②解得：a₃=7．
再在S_n=2na_n+1-3n²-4n中取n=1，得：
a₁=2a₂-7  ③
又S₃=a₁+a₂+7=15  ④
联立③④得：a₂=5，a₁=3．
∴a₁，a₂，a₃的值分别为3，5，7；
（2）∵a₁=3=2×1+1，a₂=5=2×2+1，a₃=7=2×3+1．
由此猜测a_n=2n+1．
下面由数学归纳法证明：
1、当n=1时，a₁=3=2×1+1成立．
2、假设n=k时结论成立，即a_k=2k+1．
那么，当n=k+1时，
由S_n=2na_n+1-3n²-4n，得Sk=2kak+1-3k2-4k，
Sk+1=2(k+1)ak+2-3(k+1)2-4(k+1)，
两式作差得：ak+2=

2k+1

2k+2

ak+1+

6k+7

2k+2

．
∴ak+1=

2k-1

2k

ak+

6k+1

2k

=

2k-1

2k

•(2k+1)+

6k+1

2k

=

4k2-1+6k+1

2k

=2（k+1）+1．
综上，当n=k+1时结论成立．
∴a_n=2n+1．

点评：本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题．