Question

设数列{a_n}的前项和为S_n=4-a_n-

1

2n-2

，
（Ⅰ）求a_n+1与a_n的关系；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得an+1=-an+1+an+

1

2n-1

，从而能求出an+1=

1

2

an+

1

2n

．
（Ⅱ）令bn=2nan，则数列{b_n}为等差数列，公差为2，即2ⁿa_n=2n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=4-a_n-

1

2n-2

，①
∴S_n+1=4-a_n+1-

1

2n-1

，②
②-①得：an+1=-an+1+an+

1

2n-1

，
∴an+1=

1

2

an+

1

2n

．
（Ⅱ）∵an+1=

1

2

an+

1

2n

，
∴2n+1an+1=2nan+2，
令bn=2nan，则数列{b_n}为等差数列，公差为2，
∵a₁=S₁，∴a1=4-a1-

1

21-2

，解得a₁=1，
∴b₁=2a₁=2，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
即2ⁿa_n=2n，
∴an=

2n

2n

=

n

2n-1

．

点评：本题考查a_n+1与a_n的关系的求法，考查数列{a_n}的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．