Question

设a是实数，函数f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R）
（1）试证：对任意a，f（x）在R上为增函数；
（2）是否存在a，使f（x）为奇函数，并说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用函数的单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号和下结论；
（2）运用函数的奇偶性的定义，即可解出a，进而说明存在．

解答： （1）证明：设m，n∈R，且m＜n，则
f（m）-f（n）=a-

2

2m+1

-（a-

2

2n+1

）=

2(2m-2n)

(2m+1)(2n+1)

，
由于m＜n，则2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，又2^m＞0，2ⁿ＞0，则f（m）-f（n）＜0，
所以，对任意a，f（x）在R上为增函数．
（2）解：假设存在a，使f（x）为奇函数．
则f（-x）+f（x）=0，即有a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=0，
即2a=

2•2x

1+2x

+

2

1+2x

=2，解得，a=1．
则存在a=1，使f（x）为奇函数．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．