Question

有以下叙述：
①半径为1的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为

π

3

；
②已知函数f（x）=

1+x2

1-x2

（x≠±1），则f（2）+f（3）+f（4）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）=3；
③函数y=-tan（2x-

3π

4

）的单调递减区间是（

kπ

2

+

π

8

，

kπ

2

+

5π

8

），k∈Z；
④设集合A=[0，

1

2

），B=[

1

2

，1]，函数f（x）=

x+ 1 2 (x∈A) -2x+2 (x∈B)

．若x0∈A，且f[f（x₀）]∈A，则x₀的取值范围是（

1

4

，

1

2

）．
其中所有正确叙述的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质,集合

分析：对四个命题逐一验证，②f（x）+f（

1

x

）=0；④分段函数要注意自变量的取值范围．

解答： 解：①弧长公式l=rα，由r=1，α=60°=

π

3

，则l=

π

3

；故正确．
②∵f（x）=

1+x2

1-x2

，∴f（

1

x

）=-

1+x2

1-x2

，则f（x）+f（

1

x

）=0，则f（2）+f（3）+f（4）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）=0；故结论不正确；
③∵kπ-

π

2

＜2x-

3π

4

＜kπ+

π

2

，
∴kπ+

π

4

＜2x＜kπ+

5π

4

，
∴

kπ

2

+

π

8

＜x＜

kπ

2

+

5π

8

，
∴函数y=-tan（2x-

3π

4

）的单调递减区间是（

kπ

2

+

π

8

，

kπ

2

+

5π

8

），k∈Z；故正确；
④∵x0∈A=[0，

1

2

），
∴f（x₀）=x₀+

1

2

≥

1

2

；
∴f[f（x₀）]=-2x₀+1，
则0≤-2x₀+1＜

1

2

，
则

1

4

＜x₀≤

1

2

，
∴

1

4

＜x₀＜

1

2

，
则x₀的取值范围是（

1

4

，

1

2

）．故正确．
故选①③④．

点评：本题考查比较全面，属于较基础题．