Question

已知函数f（x）=mlnx+

n

x

+1，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3x-4．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=af（x）-

x

2

在（0，1）上有极值点x₀，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，由条件可得f（1）=-1，且f′（1）=3，列出m，n的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，由条件知g′（x）=0在（0，1）上有解，令h（x）=2ax+4a-x²，即有h（x）=0在（0，1）有解，运用分离参数得到2a=

x2

x+2

=（x+2）+

4

x+2

-4，由2＜t=x+2＜3，求出右边的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=mlnx+

n

x

+1的导数f′（x）=

m

x

-

n

x2

，
由于曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3x-4，
则f（1）=-1，且f′（1）=3即有n+1=-1，且m-n=3，
解得m=1，n=-2．
即函数f（x）的解析式为f（x）=lnx-

2

x

+1；
（Ⅱ）函数g（x）=af（x）-

x

2

=alnx-

2a

x

+a-

x

2

，
导数g′（x）=

a

x

+

2a

x2

-

1

2

=

2ax+4a-x2

2x2

，
由于g（x）在（0，1）上有极值点x₀，则g′（x）=0在（0，1）上有解，
令h（x）=2ax+4a-x²，即有h（x）=0在（0，1）有解，
即2a=

x2

x+2

=（x+2）+

4

x+2

-4，由于2＜t=x+2＜3，（t+

4

t

-4）′=1-

4

t2

＞0，则（2，3）为增区间，
则t+

4

t

-4∈（0，

1

3

）．即有0＜2a＜

1

3

，则有0＜a＜

1

6

．
故a的取值范围是（0，

1

6

）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求极值，考查极值点与函数的导数的关系，考查运算能力，属于中档题．