Question

17．已知f（x）=x²-2kx-3k²．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为∅，求k的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据不等式f（x）＜0的解集为∅，得出△≤0，求出k的取值范围；
（2）关于x的不等式f（x）＜0化为x²-2kx-3k²＜0，讨论k的取值，求出对应不等式的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2kx-3k²，且不等式f（x）＜0的解集为∅，
即x²-2kx-3k²＜0的解集为∅，
∴△=4k²+12k²≤0，
解得k=0，
∴k的取值范围是k=0；
（2）关于x的不等式f（x）＜0可化为x²-2kx-3k²＜0，
且△=4k²+12k²=16k²≥0；
∴当k=0时，不等式的解集为∅；
当k≠0时，不等式对应方程的两个实数根为-3k和5k，
若k＞0，则-3k＜5k，∴不等式的解集为{x|-3k＜x＜5k}，
若k＜0，则5k＜-3k，∴不等式的解集为{x|5k＜x＜-3k}；
综上，k=0时，不等式的解集为∅；
k＞0时，不等式的解集为{x|-3k＜x＜5k}，
k＜0时，不等式的解集为{x|5k＜x＜-3k}．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了含有字母系数的不等式的解法问题，是基础题目．