Question

15．已知点A（1，1），B（1，3），圆C：（x-a）²+（y+a-2）²=4上存在点P，使得PB²-PA²=32，则圆心横坐标a的取值范围为[7，9]．

Answer 1

分析 写出圆的参数方程，得到P的坐标，代入PB²-PA²=32，得到sinθ=a-8，然后利用正弦函数的有界性得到关于a的不等式得答案．

解答 解：由圆C：（x-a）²+（y+a-2）²=4，
设x-a=cosθ，y+a-2=sinθ，则x=a+cosθ，y=2-a+sinθ，
得P（a+cosθ，2-a+sinθ），
∵A（1，1），B（1，3），又PB²-PA²=32，
得（a+cosθ-1）²+（-a+sinθ-1）²-（a+cosθ-1）²-（-a+sinθ+1）²=32，
即4（a-sinθ）=32，得a-sinθ=8，
∴sinθ=a-8．
得-1≤a-8≤1，
∴7≤a≤9．
∴圆心横坐标a的取值范围为[7，9]．
故答案为：[7，9]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的参数方程的运用，训练了利用正弦函数的有界性求字母的范围，是中档题．