Question

（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2，离心率e＝，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OP、OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer 1

(1)  (2)

试题分析：解：(1)由已知，椭圆方程可设为．
∵长轴长为,离心率， 即.
∴．所求椭圆方程为．       4分
(2）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形．        5分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为．
由   可得．
∴由求根公式可得：.
．   7分
，.
.
因为以为邻边的平行四边形是矩形，所以，
所以..
由,
得，.      10分
所求直线的方程为．    1 2分
点评：解决该试题的关键是利用椭圆的性质得到a,b，c的关系式，同时联立方程组来得到韦达定理，集合向量的数量积公式求解运算，属于基础题。