Question

（本小题满分12分）已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足．
（I）求实数的取值范围；
（II）当时，抛物线上是否存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) 即的取值范围为．
(2) 满足题设的点存在，其坐标为 ． 

试题分析：解法1：(I)不妨设A，B，且，∵，
∴．∴，．
根据基本不等式（当且仅当时取等号）得
（），即，
∴，即的取值范围为．
（II）当时，由（I求得、的坐标分别为、．
假设抛物线上存在点（,且），使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．
设经过、、三点的圆的方程为，
则 
整理得 ．                 ①
∵函数的导数为，
∴抛物线在点处的切线的斜率为，
∴经过、、三点的圆在点处的切线斜率为．
∵，∴直线的斜率存在．∵圆心的坐标为，
∴，即．      ②
∵，由①、②消去，得． 即．
∵，∴．故满足题设的点存在，其坐标为．
解法2：(I)设，两点的坐标为，且。
∵，可得为的中点，即．
显然直线与轴不垂直，设直线的方程为，即，将代入中，
得．∴ 
∴． 故的取值范围为．
（II）当时，由（1）求得，的坐标分别为．    
假设抛物线上存在点（且），使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．
设圆的圆心坐标为，                                                  
∵  ∴ 
即      解得  
∵抛物线在点处切线的斜率为，而，且该切线与垂直，
∴,即 .将,                                                     
代入上式，得,即．
∵且，∴．
故满足题设的点存在，其坐标为 ．
点评：解决该试题的关键是利用抛物线的方程以及性质来分析得到结论，同时对于探索性问题，一般先假设，然后分析求解，属于中档题。