Question

在平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别是（-1,0）,(1,0),点是的重心，轴上一点满足，且.
（1）求的顶点的轨迹的方程；
（2）不过点的直线与轨迹交于不同的两点、,当时，求与的关系，并证明直线过定点.

Answer 1

(1)  (2) ,直线过定点

试题分析：（1）设点坐标为，
因为为的重心，故点坐标为.
由点在轴上且知，点的坐标为,                   ……2分          
因为，所以，即.
故的顶点的轨迹的方程是.                  ……4分
(2)设直线与的两交点为.
由消去得，
则,
且,.                                     ……8分
因为，所以,
故，
整理得.解得.                           ……10分
①当时=，直线过点（-1，0）不合题意舍去。
②当时，=，直线过点.
综上所述,直线过定点.                                   ……12分
点评：求曲线方程时，不要忘记验证是否有限制条件；解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，此时不要忘记验证判别式大于零.