Question

（本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率为，过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点，为弦的中点。
（1）求直线（为坐标原点）的斜率；
（2）设椭圆上任意一点，且，求的最大值和最小值.

Answer 1

(1）， (2） 

试题分析：(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：     ①   …………2分
易知右焦点F的坐标为（），
据题意有AB所在的直线方程为：  ②      …………4分
由①，②有：        ③
设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：
 
所以，即为所求。     …………6分
(2）设，由1）中各点的坐标有：
，所以。
又点在椭圆C上，所以有整理为。  ④………8分
由③有：。
  ⑤
又A﹑B在椭圆上，故有     ⑥
将⑤，⑥代入④可得：。      …………10分
，故有
所以，     …………12分
点评：圆锥曲线的问题一般来说计算量大，对运算能力要求很高，寻求简洁、合理的运算途径很重要，在解答时注意以下的转化：⑴若直线与圆锥曲线有两个交点，对待交点坐标是“设而不求”的原则，要注意应用韦达定理处理这类问题 ； ⑵与弦的重点有关问题求解常用方法一韦达定理法 二 点差法；⑶平面向量与解析几何综合题，遵循的是平面向量坐标化，应用的是平面向量坐标运算法则还有两向量平行、垂直来解决问题，这就要求同学们在基本概念、基本方法、基本能力上下功夫．