Question

【题目】已知函数.

（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；

（2）当时，证明.

Answer 1

【答案】（1），的单调递减区间为，增区间为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出导函数，由求得，再确定的正负，从而确定的单调区间；

（2）由得，，构造新函数，，只要证明即可，利用导数求出的最小值即可．只是要注意的唯一解不可直接得出，只能通过的零点来研究的最小值，只要说明即可．

（1），

由是的极值点知，，即，所以.

于是，定义域为，且，

函数在上单调递增，且，

因此当时，；当时，，

所以的单调递减区间为，增区间为.

（2）当，时，，从而，则

，

令，，则

在单调递增，

且，，

故存在唯一的实数，使得.

当时，，递减；当时，，递增．

从而当时，取最小值.

由得，则，，

故，

由知，，故，

即当时，成立.