Question

【题目】定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离，在平面直角坐标系中，已知圆：及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由点到曲线的距离的定义可知，到圆的距离，所以，所以有，由椭圆定义可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆，从而可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设,则,则直线的斜率为，由可得直线的斜率是，记，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理用表示与即可得到结论.

试题解析： （Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故,

所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆，

设椭圆方程为，则，

所以，故曲线的方程为

（Ⅱ）设,则,则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设直线的方程为，由题意知，由得：.∴，

∴，由题意知，，

所以，

所以直线的方程为，令，得，即.

可得.

所以，即

（其他方法相应给分）