Question

【题目】已知 为坐标原点， ， 是椭圆 上的点，且 ，设动点 满足 ．
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点，求三角形 面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点 ， ， ，
则由 ，得 ，
即 ， ，因为点 在椭圆 上，
所以 ， ，
故

，
因为 ，
所以动点 的轨迹 的方程为 ．
（Ⅱ）将曲线 与直线 联立： ，消 得： ，
∵直线 与曲线 交于 两点，设 ， ，
∴ ，又∵ ，得 ，
， ，
∴ ，
∵点 到直线 的距离 ，
∴
，当 时等号成立，
∴三角形 面积的最大值为
【解析】(1)首先根据向量的坐标公式计算出x = x1 + 3 x 2 ， y = y1 + 3 y2的关系式，代入到椭圆的方程整理可得x2 + 3 y2的代数式再结合直线的斜率关系即可求出x1 x2 + 3 y1 y2 = 0，即可得到动点P的轨迹方程。(2)结合题意利用椭圆的定义即可求出c的值再联立直线与椭圆的方程，消元由判别式以及韦达定理得到关于m的代数式，并把上式代入到弦长公式和三角形中利用二次函数的最值即可。