Question

10．$\overrightarrow a$=（x-1，y），$\overrightarrow b$=（1，2），且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，则当x＞0，y＞0时，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用向量垂直的条件，得出x+2y=1，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（x-1，y），$\overrightarrow b$=（1，2），且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=x-1+2y=0，
∴x+2y=1，
∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+2y）=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{2y}{x}$=$\frac{x}{y}$时取等号，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$，
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量垂直的条件，考查基本不等式的运用，正确运用“1”的代换是关键．