Question

命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），命题q：实数m满足

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）将a=1带入不等式x²-4ax+3a²＜0并解该不等式得1＜x＜3，解不等式组

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

，得2＜x≤3；
这样便得到命题p：1＜x＜3，命题q：2＜x≤3，根据p∧q为真得，p，q都为真，所以求命题p，q下x的范围的交集即可；
（2）命题p：a＜x＜3a，命题q：2＜x≤3，由已知条件知q是p的充分不必要条件，所以便可得到限制a的不等式组

a≤2 3a＞3

，解该不等式组即得a的取值范围．

解答： 解：（1）a=1时，解x²-4x+3＜0，得1＜x＜3；
解

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

得，2＜x≤3；
∴命题p：1＜x＜3，命题q：2＜x≤3；
∵p∧q为真，∴p，q都为真，∴1＜x＜3，且2＜x≤3；
∴2＜x＜3；
∴实数x的取值范围为（2，3）；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件；
解x²-4ax+3a²＜0得a＜x＜3a；
∴

a≤2 3a＞3

，解得1＜a≤2；
∴实数a的取值范围是（1，2]．

点评：考查解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，若￢p，则￢q，的逆否命题是若q，则p，及充分不必要条件的定义．