Question

18．下列说法
①当x＞0且x≠1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
②△ABC中，a＞b是sinA＞sinB 成立的充要条件；
③函数y=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的图象可以由函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到；
④已知s_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，则S₉＞S₃．；
⑤函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题的序号为②④．

Answer 1

分析 当0＜x＜1时，lnx＜0，故①不正确；根据正弦定理即可判断命题成立，故②正确；先用辅助角公式，可得y=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根据三角函数图象变换，即可判断③不正确；
由条件，S₇-S₅=a₆+a₇＞0，根据等差数列的性质，可知S₉-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=3（a₆+a₇）＞0，故④正确；由于y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称，再将两图象分别平移可得y=f（1+x）和y=f（1-x）的图象，即可知函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象仍然关于y 轴对称，故⑤不正确．

解答 解：对于①：当0＜x＜1时，lnx＜0，则lnx+$\frac{1}{lnx}$＜0，故①不正确；
对于②：根据正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$（R为外接圆半径），得a=2RsinA，b=2RsinB．若a＞b，则2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB；若sinA＞sinB，则$\frac{a}{2R}＞\frac{b}{2R}$，即a＞b．所以命题成立，故②正确；
对于③：y=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），而y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到y=sin（x+$\frac{π}{6}$），故③不正确；
对于④：∵S₇＞S₅，∴S₇-S₅=a₆+a₇＞0．根据等差数列的性质，可知a₄+a₉=a₅+a₈=a₆+a₇．所以S₉-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=3（a₆+a₇）＞0，即S₉＞S₃，故④正确．
对于⑤：因为将y=f（x）的图象向左平移一个单位得到y=f（x+1）的图象，将y=f（-x）的图象向右平移一个单位，可得y=f[-（x-1）]=f（1-x）的图象，而y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称，所以函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象仍然关于y 轴对称，故⑤不正确．
故答案为：②④

点评 本通过判断命题的真假考查了基本不等式、正弦定理、三角函数图象的变换、等差数列以及函数图象的平移及对称等知识点，属于中档题．