Question

7．已知不等式$\frac{1}{x-1}$＜1的解集为p，不等式x²+（a-1）x-a＞0的解集为q，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-2，-1]
• B． （-2，-1]
• C． [-3，1]
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 由不等式$\frac{1}{x-1}$＜1，即$\frac{x-2}{x-1}$＞0，化为（x-1）（x-2）＞0，解得P=（-∞，1）∪（2，+∞）．不等式x²+（a-1）x-a＞0，化为（x+a）（x-1）＞0，对a分类讨论即可得出解集．利用q是p的必要不充分条件，即可得出．

解答 解：由不等式$\frac{1}{x-1}$＜1，即$\frac{x-2}{x-1}$＞0，化为（x-1）（x-2）＞0，
解得x＞2或x＜1．∴P=（-∞，1）∪（2，+∞）．
不等式x²+（a-1）x-a＞0，化为（x+a）（x-1）＞0，
a=-1时，解得x≠1，解集q=（-∞，1）∪（1，+∞）．
a＞-1时，解得x＞1或x＜-a，解集q=（-∞，-a）∪（1，+∞）．
a＜-1时，解得x＞-a或x＜1，解集q=（-∞，1）∪（-a，+∞）．
∵q是p的必要不充分条件，
∴a=-1时，满足条件．
a＞-1时，-a＜1，不满足条件，舍去．
a＜-1时，则-a＞1，-a＜2，联立解得-2＜a＜-1．
综上可得：-2＜a≤-1．
故选：B．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．