Question

5．已知函数f（x）=x²-4x，若关于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有四个不同的实根，且所有实根之和为4，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （2，4）
• B． （4，6）
• C． （2，6）
• D． （6，12）

Answer 1

分析 令g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，则g（x）的图象关于x=$\frac{a}{2}$对称，根据对称性可得4×$\frac{a}{2}$=4，从而解出a=2，然后化简g（x）=|f（x）|+|f（2-x）|，再根据图象即可求出t的取值范围

解答 令g（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，则g（a-x）=g（x）
故y=g（x）的图象关于x=$\frac{a}{2}$对称
又∵关于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有四个不同的实根，且所有实根之和为4
∴4×$\frac{a}{2}$=4，得a=2
∴g（x）=|x²-4x|+|（2-x）²-4（2-x）|=|x（x-4）|+|（x-2）（x+2）|
=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-4x-4，x≥4}\\{4x-4，2＜x＜4}\\{-2{x}^{2}+4x+4，0＜x≤2}\\{-4x+4，-2＜x≤0}\\{2{x}^{2}-4x-4，x≤-2}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2（x-1）^{2}-6，x≥4}\\{4x-4，2＜x＜4}\\{-2（x-1）^{2}+6，0＜x≤2}\\{-4x+4，-2＜x≤0}\\{2（x-1）^{2}-6，x≤-2}\end{array}\right.$
作出y=g（x）的图象如下

关于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有四个不同的实根可转化为y=g（x）与y=t的图象有四个不同的交点
故结合图象可得：4＜t＜6，即t的取值范围为（4，6）
故选B

点评 本题考查了函数的性质应用以及含有绝对值的分段函数的应用，同时还考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题