Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a²-（b-c）²=bc，cosAcosB=$\frac{sinA+cosC}{2}$．
（1）求角A和角B的大小；
（2）若f（x）=sin（2x+C），将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位后又向上平移了2个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，利用两角和差的余弦公式化简cosAcosB=$\frac{sinA+cosC}{2}$，可得B的值．
（2）利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）△ABC中，∵a²-（b-c）²=bc，∴a²-b²-c²=-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵cosAcosB=$\frac{sinA+cosC}{2}$，∴2cosAcosB=sinA+cosC，∴cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cos（$\frac{2π}{3}$-B），
即  cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cos$\frac{2π}{3}$•cosB+sin$\frac{2π}{3}$sinB，即$\sqrt{3}$cosB=1+sinB，∴B=$\frac{π}{6}$．
综上可得，$A=\frac{π}{3}，\;\;B=\frac{π}{6}$．
（2）∵C=$\frac{2π}{3}$-B=$\frac{π}{2}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x，∴$g（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）+2$，
令2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
故函数g（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查余弦定理，两角和差的余弦公式，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．