Question

15．以下命题正确命题的个数为（　　）
（1）化极坐标方程ρ²cosθ-ρ=0为直角坐标方程为x²+y²=0或y=1
（2）集合A={x||x+1|＜1}，B={x|y=-$\sqrt{2x-{x^2}}$}，则A⊆B
（3）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x₀∈（a，b），则$\underset{lim}{h→0}\frac{f（{x}_{0}+h）-f（{x}_{0}-h）}{h}$的值为2f′（x₀）（4）若关于x的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2（其中a＞0）的解集为R，则实数a≥4（5）将点P（-2，2）变换为P′（-6，1）的伸缩变换公式为$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由极坐标方程ρ²cosθ-ρ=0可得ρ=0或ρcosθ-1=0，化为直角坐标方程，可判断（1）；
解绝对值不等式求出A，求函数y=-$\sqrt{2x-{x^2}}$的定义域，求出B，可判断（2）；
根据导数的定义，求出$\lim_{h→0}\frac{f（{x}_{0}+h）-f（{x}_{0}-h）}{h}$的值，可判断（3）；
求出使不等式|ax-2|+|ax-a|≥2恒成立的a的范围，可判断（4）；　
根据伸缩变换公式，可判断（5）．

解答 解：由极坐标方程ρ²cosθ-ρ=0可得ρ=0或ρcosθ-1=0，即x²+y²=0或x=1，故（1）错误；
解|x+1|＜1得：A=（-2，0），由2x-x²≥0得，B=[0，2]，则A?B，故（2）错误；
若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x₀∈（a，b），
则$\lim_{h→0}\frac{f（{x}_{0}+h）-f（{x}_{0}）}{h}$=$\lim_{h→0}\frac{f（{x}_{0}）-f（{x}_{0}-h）}{h}$=f′（x₀），
故$\lim_{h→0}\frac{f（{x}_{0}+h）-f（{x}_{0}-h）}{h}$=2f′（x₀），故（3）正确；
|ax-2|+|ax-a|=|ax-2|+|a-ax|≥|ax-2+a-ax|=|a-2|，
若不等式|ax-2|+|ax-a|≥2（其中a＞0）的解集为R，则|a-2|≥2，
则a≥4或a≤0（舍去），故（4）正确；
将点P（-2，2）变换为P′（-6，1）的伸缩变换公式为$\left\{\begin{array}{l}x′=3x\\ y′=\frac{1}{2}y\end{array}\right.$，故（5）错误．
故正确的命题个数为2个，
故选：B

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．