Question

5．某户外用品专卖店准备在“五一”期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同品牌的冲锋衣，2种不同品牌的登山鞋和3种不同品牌的羽绒服中，随机选出4种不同的商品进行促销（注：同种类但不同品牌的商品也视为不同的商品），该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有三次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是$\frac{1}{2}$，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X．
（1）求随机选出的4种商品中，冲锋衣，登山鞋，羽绒服都至少有一种的概率；
（2）请写出X的分布列，并求X的数学期望；
（3）该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

Answer 1

分析 （1）根据所有的抽取方法共有${C}_{7}^{4}$ 种，而满足条件抽取方法为2${C}_{2}^{2}$•${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{1}$+${C}_{2}^{1}$•${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{2}$ 种，从而求得所求事件的概率．
（2）先求出随机变量X可能取值、以及取每个值的概率，即可得到X的分布列，并求X的数学期望．
（3）若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金的数学期望要低于提价数，即$\frac{3m}{2}$＜1500，由此求得m的范围．

解答 解：（1）所有的抽取方法共有${C}_{7}^{4}$=35种，
冲锋衣，登山鞋，羽绒服都至少有一种的抽取方法为2${C}_{2}^{2}$•${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{1}$+${C}_{2}^{1}$•${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{2}$=24种，
故冲锋衣，登山鞋，羽绒服都至少有一种的概率为 $\frac{24}{35}$．
（2）随机变量X可能取值为0，m，2m，3m，
P（X=0）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$，P（X=m）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{2}$×${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=2m）=${C}_{3}^{2}$×${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，P（X=3m）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$，
故X的分布列为：

X	0	m	2m	3m
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

故X的数学期望EX=0+m×$\frac{3}{8}$+2m×$\frac{3}{8}$+3m×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$m．
（3）若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金的数学期望要低于提价数，
即$\frac{3m}{2}$＜1500，∴m＜100，即每次中奖奖金要低于100元，才对商场有利．

点评 本题主要考查古典概率，离散型随机变量的分布列与数学期望，求得随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题．