题目内容
已知f（x）=alnx+x2
（1）讨论f（x）的单调性，
（2）当a＞0时，若对于任意x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|，求a的取值范围．
（1）讨论f（x）的单调性，
（2）当a＞0时，若对于任意x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）求导数f′（x），分a≥0，a＜0两种情况进行讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，不妨设x1＜x2，则不等式可化为可化为f（x2）-f（x1）≥3x2-3x1，即f（x2）-3x2≥f（x1）-3x1，令g（x）=f（x）-3x，可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而有g′（x）≥0恒成立，分离参数a后化为函数的最值即可；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，不妨设x1＜x2，则不等式可化为可化为f（x2）-f（x1）≥3x2-3x1，即f（x2）-3x2≥f（x1）-3x1，令g（x）=f（x）-3x，可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而有g′（x）≥0恒成立，分离参数a后化为函数的最值即可；
解答：
解：（1）f′(x)=
+2x=
，
当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f′（x）＞0得：x＞
，f′（x）＜0得：0＜x＜
，
此时f（x）的递增区间为（
，+∞)），f（x）的递减区间为(0，
)；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设x1＜x2，则|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|可化为f（x2）-f（x1）≥3x2-3x1，即f（x2）-3x2≥f（x1）-3x1，
令g（x）=f（x）-3x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g′（x）=f′（x）-3=
-3=
≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥-2x2+3x=-2(x-
)2+
，
∴a≥
．
| a |
| x |
| a+2x2 |
| x |
当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f′（x）＞0得：x＞
-
|
-
|
此时f（x）的递增区间为（
-
|
-
|
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设x1＜x2，则|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|可化为f（x2）-f（x1）≥3x2-3x1，即f（x2）-3x2≥f（x1）-3x1，
令g（x）=f（x）-3x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g′（x）=f′（x）-3=
| a+2x2 |
| x |
| a+2x2-3x |
| x |
∴a≥-2x2+3x=-2(x-
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 8 |
∴a≥
| 9 |
| 8 |
点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，属中档题．
练习册系列答案
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+
）+（
+
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①
∥
；
②
+
=
；
③
+
=
；
④|
+
|＜|
|+|
|；
⑤|
+
|=|
|+|
|．
| a |
| AB |
| CD |
. |
| BC |
| DA |
| b |
①
| a |
| b |
②
| a |
| b |
| a |
③
| a |
| b |
| b |
④|
| a |
| b |
| a |
| b |
⑤|
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、①② | B、①③ |
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