Question

3．有以下命题：
①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；
②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；
③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；
④若函数f（x）存在反函数f^-1（x），且f^-1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f^-1（x）图象的公共点必在直线y=x上；
其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．

解答 解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，
所以①正确．
②若函数为偶函数，则f（-x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．
③因为函数f（x）=$\frac{1}{x}$在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．
④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，
比如函数y=-$\sqrt{x+1}$与其反函数y=x²-1（x≤0）的交点坐标有（-1，0），（0，1），
显然交点不在直线y=x上，所以④错误．
故答案为：①②．

点评 本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．