Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，且a_n+1=a_n（a_n+1）（n∈N^*），则m=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}+1}$的整数部分是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 把给出的递推式变形得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$然后利用累加法进行化简，再由递推式求出第2017项的范围后可得m的整数部分．

解答 解：由a_n+1=a_n（a_n+1）（n∈N^*）得出：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
所以$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
所以m=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}+1}$
=（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）+（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{4}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2017}}$-$\frac{1}{{a}_{2018}}$）
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2018}}$
=3-$\frac{1}{{a}_{2018}}$．
因为a_n+1=a_n（a_n+1）（n∈N^*），
所以a_n+1-a_n=a_n²≥0，
而a₂=a₁²+a₁=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，a₃=a₂²+a₂=$\frac{16}{81}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{52}{81}$＜1．
所以1＞a₂₀₁₈≥a₂₀₁₇≥…≥a₃，则$\frac{1}{{a}_{2018}}$＞1．
由m=3-$\frac{1}{{a}_{2018}}$知0＜m＜2，所以m的整数部分为2．
故选：C．

点评 本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了累加法求得数列的和，解答此题的关键是由递推式得到列项公式，是在中档题．