Question

1．四棱锥P-ABCD中，PC=AB=1，BC=2，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）求三棱锥B-PMN的体积．

Answer 1

分析 （1）取PB中点Q，连结QN，QA，推导出四边形AMNQ为平行四边形，从而MN∥AQ，由此能证明MN∥平面PAB；
（2）三棱锥B-PMN的体积${V}_{B-PMN}={V}_{P-BMN}=\frac{1}{2}{{V}_{P-BMC}}^{\;}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取PB中点Q，连结QN，QA，
∵底面ABCD为平行四边形，点M，N分别为AD，PC的中点．
∴QN是中位线，
∴AD∥BC∥QN，
又M是AD中点，∴QN=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=AM$，
∴四边形AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ，
又MN?平面PAB，AQ?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
解：（2）∵PC⊥平面ABCD，N为PC中点，
∴三棱锥B-PMN的体积：
${V}_{B-PMN}={V}_{P-BMN}=\frac{1}{2}{{V}_{P-BMC}}^{\;}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×{S}_{△BMC}×PC$
=$\frac{1}{6}×2×2×sin60°×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．