Question

6．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x∈（0，+∞），且f（x）在x₀处取得最小值，则以下各式正确的序号为（　　）
①f（x₀）＜x₀+1              ②f（x₀）=x₀+1             ③f（x₀）＞x₀+1               ④f（x₀）＜3                    ⑤f（x₀）＞3．

• A． ①④
• B． ②④
• C． ②⑤
• D． ③⑤

Answer 1

分析 求导数，利用最小值点且为极小值点，即可判断①②③；利用g（x）=e^x-x-2，x＞0，的零点，由零点判定定理可判断④⑤．

解答 解：函数f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x（x∈（0，+∞），
可得f′（x）=$\frac{-1-x{e}^{x}}{（{e}^{x}-1）^{2}}$+1=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
由f（x）在x₀处取得最小值，也为极小值．
即有f′（x₀）=0，即e^x₀=x₀+2，
f（x₀）=$\frac{{x}_{0}+1}{{e}^{{x}_{0}}-1}$+x₀=1+x₀，
即①，③错误，②正确；
令g（x）=e^x-x-2，x＞0，
则g（1）=e-1-2=e-3＜0，
g（2）=e²-4＞0，
则g（x）的零点介于（1，2），
则x₀＜2，f（x₀）=1+x₀＜3，
故④正确，⑤错误．
即有②④正确．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的应用：求最值，考查函数零点判定定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．