Question

11．已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：
①若PM⊥平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；
②若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为$\frac{15}{2}$；
③若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的外接球体积为$\frac{{125\sqrt{2}}}{6}π$；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则三棱锥P-ABC的体积为$2\sqrt{23}$；
其中正确命题的序号是①④（把你认为正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 运用三棱锥的棱长的关系，求解线段，面积，体积，把三棱锥镶嵌在长方体中，求解外接圆的半径，

解答 解：对于①，∵△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，
∴PM丄平面ABC，且M是AB边中点，∴MA=MB=MC
∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，∴PA=PB=PC，∴①正确，
对于②，∵当PC⊥面ABC，∴△PCM面积=$\frac{1}{2}$×PC×CM=$\frac{1}{2}$×5×CM
又因为CM作为垂线段最短=$\frac{12}{5}$，△PCM面积的最小值为$\frac{1}{2}×5×\frac{12}{5}$=6，∴②不正确．
对于③，∵若PB=5，PB⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3，
∴三棱锥P-ABC的外接球可以看做3，4，5为棱长的长方体，∴2R=5$\sqrt{2}$，∴体积为$\frac{125\sqrt{2}}{3}π$，故③不正确．
对于④，∵△ABC的外接圆的圆心为O，PO⊥面ABC，∵P²=PO²+OC²，r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，
OC=$\sqrt{2}$，PO²=25-2=23，PO=$\sqrt{23}$，
$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$××3×4×$\sqrt{23}$=2$\sqrt{23}$，故④正确
故答案为：①④

点评 本题考查了空间直线，几何体的性质，位置关系，求解面积，夹角问题，属于难题．