Question

15．已知f（x）=xlnx．
（1）求$g（x）=\frac{f（x）+2}{x}$的单调区间；
（2）若不等式k+2x-e≤f（x）恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为k≤xlnx-2x+e恒成立，令h（x）=xlnx-2x+e，（x＞0），求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴g（x）=$\frac{xlnx+2}{x}$=lnx+$\frac{2}{x}$，
则g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
（2）若不等式k+2x-e≤f（x）恒成立，
则k≤xlnx-2x+e恒成立，
令h（x）=xlnx-2x+e，（x＞0），
则h′（x）=lnx-1，
令h′（x）＞0，解得：x＞e，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜e，
故h（x）在（0，e）递减，在（e，+∞）递增，
故h（x）_min=h（e）=0，
故k≤0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．