Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠-1．
（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为

1

2

，求f（x）的极值；
（2）若a∈（1，e]，F（x）=f（x）-g（x），求证：当x₁，x₂∈[1，a]时，|F（x₁）-F（x₂）|＜1恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由对数函数的定义得到函数的定义域为x大于0，求出f′（x），根据曲线在（2，f（2））处切线的斜率为

1

2

，得到f′（2）=

1

2

，代入导函数得到关于a的方程，求出a的解即得到函数的解析式，可令f′（x）=0求出x的值，在定义域内利用x的范围讨论导函数的正负即可得到函数的增减区间，利用函数的增减性得到函数的极值即可；
（2）求出函数f（x）在区间[1，a]上的最大值和最小值，然后利用不等式恒成立的条件进行求参数a的取值范围．．

解答： 解：（1）由已知x＞0，f′（x）=x+

•a

x

由于曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为

1

2

，
所以f′（2）=

1

2

，即2+

a

2

=

1

2

，解得a=-3
所以f（x）=

1

2

x²-3lnx，f′（x）=x-

3

x

令f′（x）=0，则x=

3

或x=-

3

（舍）
当0＜x＜

3

时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞

3

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
故x=

3

是f（x）的极大值点，且f（x）的极大值为f（

3

）=

3

2

(1-ln3)；
（2）证明：由于F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x（x＞0），
则F′（x）=x+

•a

x

-（a+1）=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
由于x＞0，a∈（1，e]，
故当0＜x＜1或x＞a时，F′（x）＞0，
当1＜x＜a时，F′（x）＜0，
故函数F（x）在[1，a]上为单调递减函数．
所以F_min=F（a）=

1

2

a²+alna-（a+1）a=-

1

2

a²+alna-a，
F_max=F（1）=-a-

1

2

故对?x₁，x₂∈[1，a]，|F（x₁）-F（x₂）|_max=F（1）-F（a）=

1

2

a²-alna-

1

2

，
又因为a∈（1，e]，
所以

1

2

a²-alna-

1

2

≤

1

2

e²-e-

1

2

＜1，
所以当x₁，x₂∈[1，a]时，|F（x₁）-F（x₂）|＜1恒成立．

点评：本题考查导数在研究函数中的应用：要求学生会求曲线上过某点的切线方程的斜率，会利用导数研究函数的极值．研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值．要使不等式恒成立，只要1大于等于最大值与最小值之差即可．