Question

4．已知向量$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），则∠ABC=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根据题意，设向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，则∠ABC=π-θ，由向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$的坐标计算可得cosθ的值，结合θ的范围可得θ的值，又由∠ABC=π-θ，计算可得答案．

解答 解：设向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，则∠ABC=π-θ，
向量$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则|$\overrightarrow{AB}$|=1，$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），则|$\overrightarrow{BC}$|=1，
且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又由0≤θ≤π，
则θ=$\frac{π}{6}$，
则∠ABC=π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$；
故选：D．

点评 本题考查平面向量数量积的计算，注意向量与向量的夹角的定义．