Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），则|k₁|+|k₂|的最小值为（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{6}{5}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 利用条件得出a，b的关系，设M（x₀，y₀），用a表示出k₁，k₂，从而可得出结论．

解答 解：不妨设a＞b，设焦距为2c，由题意可知2a+2c=4b，
则c=2b-a，∴c²=4b²-4ab+a²，
∴a²-b²=4b²-4ab+a²，整理可得b=$\frac{4a}{5}$，
设M（x₀，y₀），y₀＞0，则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{25{{y}_{0}}^{2}}{16{a}^{2}}$=1，解得y₀=$\frac{4\sqrt{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}}{5}$，
∴N（x₀，-y₀），又A（-a，0），B（a，0），
∴k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，k₂=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴|k₁|+|k₂|=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$+$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$=$\frac{4\sqrt{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}}{5}$（$\frac{1}{{x}_{0}+a}$+$\frac{1}{a-{x}_{0}}$）=$\frac{8}{5}\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}}$，
∴当x₀=0时，|k₁|+|k₂|取得最小值$\frac{8}{5}$．
故选A．

点评 本题考查了椭圆的性质，属于中档题．