Question

16．函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB{|}^{2}}$叫做曲线y=f（x）在点A，B之间的“平方弯曲度”，设曲线y=e^x+x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，则φ（A，B）的最大值为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 根据定义得出φ（A，B）的解析式，利用基本不等式求出最大值．

解答 解：k_A-k_B=（e${\;}^{{x}_{1}}$+1）-（e${\;}^{{x}_{2}}$+1）=e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$=e${\;}^{{x}_{2}}$（e-1），
|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+[（e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$）+（x₁-x₂）]²=1+[e${\;}^{{x}_{2}}$（e-1）+1]²
=e${\;}^{2{x}_{2}}$（e-1）²+2e${\;}^{{x}_{2}}$（e-1）+2，
∴φ（A，B）=$\frac{{e}^{{x}_{2}}（e-1）}{{e}^{2{x}_{2}}（e-1）^{2}+2{e}^{{x}_{2}}（e-1）+2}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}（e-1）+\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}（e-1）}+2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
当且仅当e${\;}^{{x}_{2}}$（e-1）=$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}（e-1）}$即x₂=ln$\frac{\sqrt{2}}{e-1}$时取等号．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 本题考查了函数最值的计算，基本不等式的应用，属于中档题．