Question

【题目】已知四棱锥P - ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC

(1)证明平面PAD⊥平面PCD;

(2)求AC与PB所成角的余弦值;

(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2).

(3) -.

【解析】分析：以A为坐标原点,AD长为单位长度,建立空间直角坐标系.

（1）求出，，计算=0，推出AP⊥DC，然后证明DC⊥面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；

（2）利用空间向量的数量积，求AC与PB所成角的余弦值；

（3）MCN(x,y,z),λ∈R,=λ，说明∠ANB为所求二面角的平面角，求出，计算,即可取得结果.

详解: (1)因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,所以可以以A为坐标原点,AD长为单位长度,建立空间直角坐标系.

如图,则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M.

∵=(0,0,1),=(0,1,0),=0,

∴AP⊥DC.

又由题设知:AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD内,故面PAD⊥面PCD.

=(1,1,0),=(0,2,-1),

∴||=,||=,=2,

∴cos<,>==.

ACPB.

MCN(x,y,z),λ∈R,=λ,

=(1-x,1-y,-z),=,

∴x=1-λ,y=1,z=λ.

要使AN⊥MC,只=0,即x-z=0,

解得λ=.可知当λ=,N点坐标,

能=0.

此时,=,=,

=0.

=0,=0,得AN⊥MC,BN⊥MC.

∴∠ANB为所求二面角的平面角.

∵||=,||=,=-,

∴cos<,>==-.

故所求的二面角的余弦值为-.