题目内容
【题目】设F1,F2分别为椭圆C
(1)若椭圆C上的点
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
分析:(1)到两交点的距离之和为4,点在曲线上,列出的方程求解即可。
(2)设椭圆上的动点为,线段的中点,利用中点的坐标关系式,列出与的坐标关系,用表示出,代入椭圆方程即可。
(3)分别设出的坐标,表示出斜率化简整理即可。
详解:(1)椭圆C的焦点在x轴上.由椭圆上的点A到F1,F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.
又点A,
∴+=1,b2=3.
∴c2=a2-b2=1.
∴椭圆C的方程+=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).
(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:x=,y=,
∴x1=2x+1,y1=2y.
∴+=1,
+=1为所求的轨迹方程.
(3)类似的性质为:若M,N是双曲-=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
证明:设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其-=1.
又设点P的坐标为(x,y),
∵kPM=,kPN=,
∴kPM·kPN=.
-=1,
∴x2=a2,m2=a2.
∴x2-m2=(y2-n2).
∴kPM·kPN==(定值).
【题目】某服装店为庆祝开业“三周年”,举行为期六天的促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,第五天该服装店经理对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计,表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
4 | 6 | 10 | 23 | 22 |
(1)若与具有线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)预测第六天的参加抽奖活动的人数(按四舍五入取到整数).
参考公式与参考数据:.