Question

17．某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中AB=40，BC=16，O为AB上一点，且BO=8，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置（M，N分别在线段OD、OC上），点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12，记OM=d，我们知道当△OMN面积最小时观赏效果最好．
（1）当d为何值时，P为队列MN的中点？
（2）怎样安排M的位置才能使观赏效果最好？求出此时d的值．

Answer 1

分析 （1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．求出OC：y=2x，$OD：y=-\frac{1}{2}x$，设M（-2m，m），N（n，2n），（m＞0，n＞0），然后求解即可．
（2）通过k_PM=k_PN，推出4m+12n=5mn，利用三角形的面积，以及基本不等式求解即可．

解答 解：（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则C（8，16），B（8，0），P（-4，4）．
∴OC：y=2x；∵OC⊥OD，可得$OD：y=-\frac{1}{2}x$，
设M（-2m，m），N（n，2n），（m＞0，n＞0），
∵P为MN的中点，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2m+n=-8\\ m+2n=8\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{24}{5}\\ n=\frac{8}{5}\end{array}\right.$，
此时$M（-\frac{48}{5}，\frac{24}{5}）$，$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$；…．（7分）（建系2分）
（2）∵k_PM=k_PN，∴$\frac{m-4}{-2m+4}=\frac{2n-4}{n+4}$，∴4m+12n=5mn，
∵OC⊥OD，∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}OM•ON=\frac{5}{2}mn$
∵$4m+12n=5mn≥8\sqrt{3mn}$当且仅当$m=3n=\frac{24}{5}$时取等号，
∴$mn≥\frac{192}{25}$．∴${S_{△OMN}}=\frac{5}{2}mn≥\frac{96}{5}$，此时$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$．
答：（1）当$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$时，P为队列MN的中点；
（2）当点M满足$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$时，观赏效果最好．…．（16分）（答1分）

点评 本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．