Question

10．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m-3，m+3），则实数c的值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m-3，m+3，最后利用根与系数的关系建立方程，解之即可．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b=0只有一个根，即△=a²-4b=0则b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
不等式f（x）＜c的解集为（m-3，m+3），
即为x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$＜c解集为（m-3，m+3），
则x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-c=0的两个根为m-3，m+3，
∴m-3+m+3=2m=-a，即m=-$\frac{1}{2}$a，
（m-3）•（m+3）=m²-9=$\frac{{a}^{2}}{4}$-c，
即为$\frac{{a}^{2}}{4}$-9=$\frac{{a}^{2}}{4}$-c，
解得c=9．
故选：C．

点评 本题主要考查了二次函数的值域，二次不等式的解法，注意运用转化思想，以及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．