Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，且过点A（2，0），
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过点A且与椭圆的另一交点为B，若|AB|=

4 2

5

，求直线l的倾斜角．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得a=2，由e=

c

a

=

3

2

，c=

3

，由此能求出椭圆的方程．
（2）由（Ⅰ）设点B的坐标为（x₁，y₁），设直线l的方程为y=k（x+2），联立

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由此能求出直线l的倾斜角．

解答： （1）解：由椭圆过点（2，0）且a＞b＞0，
所以a=2，由e=

c

a

=

3

2

，c=

3

，
所以，a²=4，c²=3，b²=1，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）解：由（Ⅰ）设点B的坐标为（x₁，y₁），
直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，
消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．…（7分）
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

．
从而y1=

4k

1+4k2

．
所以|AB|=

(-2- 2-8k2 1+4k2 )2+( 4k 1+4k2 )2

=

4 1+k2

1+4k2

．…（10分）
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

．
整理得32k⁴-9k²-23=0，
即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．…（11分）
所以直线l的倾斜角为

π

4

或

3π

4

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与倾斜角的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．