Question

已知函数f（x）=

ax

x2+a

（a≠0）
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）若存在x₀∈（0，1），使f′（x₀）-[f（x₀）]²=0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f(x)=

x

x2+2

，令f′（x）=0，解得x=±

2

．列出表格，即可得出函数的单调性极值；
（2）f′(x0)=

2a-a x 2 0

( x 2 0 +2)2

，代入f′（x₀）-[f（x₀）]²=0，解出即可．

解答： 解：（1）当a=1时，f(x)=

x

x2+2

，f′(x)=

2-x2

(x2+2)2

，
令f′（x）=0，解得x=±

2

．列出表格：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 +∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

故函数的极大值、极小值分别为f(

2

)=

2

4

，f(-

2

)=-

2

4

．
（2）f′(x0)=

2a-a x 2 0

( x 2 0 +2)2

，
∴f′（x₀）-[f（x₀）]²=

2a-a x 2 0 -a2 x 2 0

(x0+2)2

=0，
∴2a-a

x

2 0

-a2

x

2 0

=0，
∵a≠0，∴(1+a)

x

2 0

=2，
∵

x

2 0

∈(0，1)，即0＜

2

1+a

＜1，解得a＞1.
因此，实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．