Question

已知函数f（x）=m-

2

1+5x

．
（1）是否存在实数m，使f（x）是奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，给出证明．
（2）当-1≤x≤2时，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义，可求m的值；
（2）求出f（x）的最小值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）…（2分）
∴m-

2

1+5-x

=-m+

2

1+5x

，
∴m=

1

1+5x

-

1

1+5-x

=1…（4分）
（2）∵-1≤x≤2，∴

1

5

≤5x≤25，
∴

6

5

≤1+5x≤26，
∴m-

5

3

≤m-

2

1+5x

≤m-

1

13

…（6分）
∴f(x)min=m-

5

3

≥0解得m≥

5

3

．…（3分）

点评：本题考查奇函数的定义，考查函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．