Question

15．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），直线l经过定点P（1，1），倾斜角为$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆锥曲线C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用l经过定点P（1，1），倾斜角为$\frac{π}{3}$，写出直线l的参数方程；消去参数得到圆锥曲线C的标准方程；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程，利用参数的几何意义，求|PA|•|PB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵l经过定点P（1，1），倾斜角为$\frac{π}{3}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）…（2分）
∵sin²θ+cos²θ=1，且$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$，
∴圆锥曲线C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程得$\frac{15}{4}{t^2}+（{3+4\sqrt{3}}）t-5=0$①…（6分）
设α是方程①的两个实根，则${t_1}{t_2}=-\frac{4}{3}$，…（8分）
所以$|{PA}|•|{PB}|=|{t_1}|•|{t_2}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{4}{3}$…（10分）

点评 本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，考查参数几何意义的运用，属于中档题．